تبلیغات


کانون ریاضی گیلان(خانه ریاضی رشت) - خلاصه قضیه فیثاغورس
منوی اصلی
درباره وبلاگ

سلام علیکم؛
شرح وظایف کانون: شاید مهمترین وظیفه کانون ریاضی گیلان کشف و هدایت دانش آموزان مقطع ابتدائی و راهنمائی در جهت آشنائی با مسابقات و آزمونهای علمی مثل آزمون ورودی مدارس نمونه و تیزهوشان و برگزاری المپیادهای استانی و کشوری باشد. شاید بتوان گفت که وظیفه دیگر کانون ریاضی گیلان تقویت بنیه علمی دانش آموزان مقطع متوسطه در جهت موفقیت در آزمون کنکور سراسری است، می دانیم که امروزه با افزایش ظرفیت دانشگاهها بخصوص غیر انتفاعی و شبانه و دانشگاه آزاد اسلامی تمام دانش آموزان در دانشگاهها قبول می شوند. اما هدف اصلی کانون ریاضی استان گیلان افزایش رتبه های زیر هزار درکنکور سراسری است، تا دانش آموزان بتوانند در دانشگاههای معتبر مثل دانشگاه شریف، تهران، امیرکبیر و ... که قطب علمی کشور هستند قبول شوند. وظیفه دیگر کانون ریاضی کشف استعدادهای نخبه و هدایت و پشتیبانی از آنها و هماهنگی بین دبیران ریاضی استان و ایجاد همراهی و همدلی بین مدرسین ریاضی؛ تألیف و جمع آوری کتب و منابع دسته اول ریاضی، بخصوص از معتبرترین منابع داخلی و خارجی و برپائی آزمونهای آمادگی المپیادها و لیگ های ریاضی می باشد. به عبارت دیگر یکی از اهداف اصلی ما آموزش شیوه نوین تفکر ریاضی در عصر جدید و رواج درست اندیشیدن در این علم مادر و کاربرد آن در زندگی روز مره می باشد. لازم به تذکر است که تفکرکانون همانند مؤلفین کتابهای درسی و طراحان کنکور سراسری گسترش ریاضی مفهومی در بین دانش آموزان است و نه بیان مطالب سطحی و کم عمقی که توسط بعضی از مؤسسات موجود در بازار که برای داغ کردن بازار خودشان یک رقابت ناسالم را در بین دانش آموزان ایجاد نموده و هر روز بیشتر از دیروز رواج می دهند. رقابت در کانون ریاضی استان گیلان بسیار سالم بوده و مطابق برنامه درسی مصّوب وزارت آموزش و پرورش و مطابق با سر فصلهای اعلام شده سازمان سنجش برای سوالات کنکور سراسری است.
مدیر وبلاگ :
کانون ریاضی گیلان قویترین کلینیک فوق تخصصی ریاضی ایران و خانه ریاضی رشت اولین آکادمی فوق تخصصی ریاضی گیلان

موضوعات
پیوندهای روزانه
صفحات جانبی
آمار وبلاگ
  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :
اوقات شرعی
ساعت فلش مذهبی

 

قضیهٔ فیثاغورس در هندسه و فضای اقلیدسی بخشی از صورت کلی قانون کسینوس‌ها هنگامی که زاویهٔ بین دو بردار ۹۰ درجه‌است می‌باشد.این قضیه به نام ریاضی‌دان یونانی فیثاغورس نامگذاری شده‌است. به سخن دیگر در یک مثلث راست‌گوشه (قائم الزاویه) همواره مجموع توان‌های دوم دو ضلع برابر با توان دوم وتر است.

قانون کسینوس‌ها بیان می‌کند که اگر دو بردار (یا خط) a و b در راس O تشکیل یک زاویه با نام A بدهند بردار تفاضل از رابطهٔ a^2+b^2-2abCos{A} = c^2 بدست می‌آید.

همانطور که می‌بینید هر گاه زاویه A برابر با ۹۰ درجه باشد مقدار 2abcos{A} صفر شده و در نتیجه صورت قضیهٔ فیثاغورس بدست می‌آید:a^2+b^2=c^2

لطفا برای دیدن اثبات قضیه فیثاغورس به ادامه مطلب مراجعه نمایید، متشکریم.
وارون این قضیه نیز درست است، به عبارت دیگر، اگر a^2+b^2=c^2 باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. اثبات عکس قضیه فیثاغورس را به اقلیدس نسبت داده‌اند.
اثبات

قضیهٔ فیثاغورس، قضیه‌ای است که بیش از هر قضیهٔ دیگری اثبات دارد، در کتاب پیشنهاد فیثاغورس (به انگلیسی: The Pythagorean Proposition)، حدود ۳۷۰ اثبات برای این قضیه آورده شده‌است.

 
اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه

این اثبات بر اساس نسبت تناسب میان دو مثلث متشابه بیان شده‌است. به این معنی که اگر دو مثلث متشابه داشته باشیم، نسبت طول‌های هر دو ضلع متشابه میان دو مثلث ثابت است.


همان گونه که در شکل نشان داده شده‌است، فرض کنید ABC مثلثی راست‌گوشه‌است و C زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) است. حال ارتفاع مثلث را از گوشهٔ C بر وتر AB رسم می‌کنیم و نقطهٔ برخورد را H می‌نامیم. نقطهٔ H وتر را به دو بخش d و e تقسیم می‌کند.

مثلث جدید ACH و مثلث ABC با یکدیگر متشابه‌اند. چون هر دو یک زاویهٔ ۹۰ درجه دارند (طبق تعریف ارتفاع مثلث) و زاویهٔ A در هر دو مشترک است؛ از این می‌توان نتیجه گرفت که زاویهٔ سوم θ در هر دو یکسان است (در شکل نشان داده شده‌است). به دلیل مشابه مثلث CBH نیز با مثلث ABC متشابه‌است. به دلیل تشابه مثلث‌ها، روابط زیر برقرار خواهد بود:

 \frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}

عبارت سمت چپ، برابر است با کسینوس زاویهٔ θ و سمت راست برابر است با سینوس زاویهٔ θ.

این نسبت‌ها را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:

a^2=c\times e و  b^2=c\times d

اگر دو تساوی را با یکدیگر جمع کنیم، خواهیم داشت:

a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2

که همان تساوی قضیهٔ فیثاغورس خواهد بود:

a^2+b^2=c^2

روش گفته شده اثبات دانتزیگ، Dantzig بود که یک روش ریاضی بود و بر اساس طول‌ها. این اثبات در تاریخ علم، نقشی قابل توجه داشته‌است. اما سوالی که اینجا مطرح است این است که چرا اقلیدوس از این روش استفاده نکرده و برای اثبات آن روش دیگری را از خود گفته‌است. یک گمان این است که اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه نیاز به دانستن تئوری تناسب‌ها داشته که تا آن زمان هنوز مورد بحث قرار نگرفته بود.

وارون قضیه

درستی وارون قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان اثبات کرد.

برای هر سه عدد مثبت a و b و c که در عبارت a۲ + b۲ = c۲ صدق کنند؛ می‌توان مثلثی پیدا کرد با طول ضلع‌های a و b و c که حتماً دارای زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) میان ضلع‌های a و b است.

چنین اعدادی را اعداد فیثاغورسی می‌نامند. بیان دیگر وارون قضیه عبارت است از:

برای هر مثلثی با اضلاع a و b و c اگر a۲ + b۲ = c۲ باشد آنگاه زاویهٔ میان اضلاع a و b برابر با ۹۰ درجه خواهد بود.

بیان استفاده شده در کتاب اصول اقلیدوس (کتاب اول، پیشنهاد ۴۸):

اگر مربع یکی از اضلاع مثلثی برابر باشد با مجموع مربع‌های دوضلع دیگر، آنگاه زاویهٔ تشکیل شده با آن دو ضلع، یک زاویهٔ راست است.

درستی این مطلب را می‌توان با استفاده از قانون کسینوس‌ها اثبات کرد.

فرض کنید ABC مثلثی با اضلاع a و b و c باشد که a۲ + b۲ = c۲. حال باید ثابت کرد که زاویهٔ میان a و b زاویه‌ای راست است. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های a و b و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با c = √(a۲ + b۲) داشته باشد. پس وتر مثلث دوم طولی برابر با وتر مثلث اول دارد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. پس زاویهٔ میان ضلع‌های a و b در مثلث اصلی خود، زاویه‌ای راست است.

با استفاده از وارون قضیهٔ فیثاغورس می‌توان به آسانی پیدا کرد که یک مثلث زاویهٔ راست، تند یا باز دارد. اگر بزرگترین ضلع یک مثلث را c نامگذاری کنیم، بر اساس نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت a + b> c است (اگر چنین نباشد یعنی مثلثی تشکیل نشده‌است) حال با استفاده از وارون قضیه فیثاغورس و نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت:

  • اگر a۲ + b۲ = c۲, آنگاه مثلث راست‌گوشه‌است.
  • اگر a۲ + b۲> c۲, آنگاه مثلث تیزگوشه‌است. (دارای زاویهٔ تند)
  • اگر a۲ + b۲ <c۲, آنگاه مثلث دارای زاویه‌ای باز است. (بیش از ۹۰ درجه)

ادسخر دیکسترا برای تشخیص زاویهٔ مثلث‌ها پیشنهاد زیر را داده‌است:

sgn(α + β − γ) = sgn(a۲ + b۲ − c۲)

که در آن α زاویهٔ مقابل به ضلع a و β زاویهٔ مقابل به ضلع b و γ زاویهٔ مقابل به ضلع c است؛ و sgn عبارت تابع علامت می‌باشد.

 

 



نویسندگان
مطالب اخیر
آرشیو وبلاگ
نظرسنجی
لینک دوستان
برچسب ها




دریافت کد نظر سنجی وبلاگ و سایت

الکسا

پیج رنک

وضعیت آب و هوا

دریافت کد وضعیت آب و هوا

  • کد نمایش افراد آنلاین
  • پشتیبانی

    از کانون ریاضی گیلان حمایت کنید

    به کانون ریاضی گیلان امتیاز دهید

    pccamoozesh